Nuôi con nuôi, thay đổi phần khai về mẹ

Hiện nay, gia đình tôi đang có trường hợp như sau, xin được hướng dẫn:
Ông A và bà B kết hôn năm 2000 nhưng không có con và hiện giờ vẫn là vợ chồng hợp pháp. Vào năm năm 2007,  ông A có một người con ngoài giá thú với bà C và đã được đăng ký khai sinh cho trẻ với tên M ( có tên cha là ông A và mẹ là bà C). Nay bà C có gia đình riêng nên muốn giao bé M cho bà B là vợ hợp pháp của ông A làm con nuôi.
Xin hỏi Quý cơ quan chức năng trường hợp của bà B có làm làm thủ tục nhận con nuôi là M được không? Nếu được thì thủ tục nhận con nuôi như thế nào? Nếu nhận được con nuôi thì thủ tục thay đổi phần khai về người mẹ trên giấy khai sinh của trẻ M như thế nào (vì ông A và bà B đều muốn đứng tên là cha, mẹ trên giấy khai sinh của trẻ M)?